Phantom map

　名前に惹かれただけなんですけどね。Phantom mapあるいはGorst mapなどとよばれ、日本語で言うならば幽霊写像と訳すのでしょうか。
　f : X → Yを連続写像としたとき、fはPhantom mapとは任意の有限複体Kと連続写像g : K→ Xに対し、合成fg : K → Yが0-ホモトープ（constant mapとhomotopic）となることである。当たり前だがfが0-ホモトープなら、Phantom mapである。またdomainのXが有限複体なら、Phantom mapはこのような自明なものしかない。よってPhantom mapを考えるときは自然と、Xが無限次元のCW複体等を要求される。
　XからYへのPhantom mapのhomotopy類の集合をPh(X,Y)と書くとき、この表現を考える。というのも、XをCW複体としたとき、

という二つの集合の完全列がある。ただし、X^(n)はXのn-skelton、Y(n)はYのn+1次以上のhomotopy群を消したpostnikov近似である。これを使うと、Ph(X,Y)というのは

　あるいは、

　と同型であることがわかる。

　ChristensenとHoveyによる論文では、spectrumでPhantom mapを色々と考えている。